מחשבון מדעי — sin, cos, log, עוצמות ועצרות
- הקלידו מספר בשדה הקלט או לחצו על הכפתורים בממשק המחשבון.
- בחרו פונקציה: sin, cos, tan, log, ln, √, x², xⁿ, n!.
- לחצו '=' לקבלת התוצאה. לחצו 'AC' לאיפוס מלא.
- השתמשו ב-M+ לשמירת ערך בזיכרון וב-MR לשחזורו.
- ראו תוצאות מיידיות בשדה התצוגה — ניתן לשרשר חישובים.
מחשבון מדעי מלא בעברית: טריגונומטריה, לוגריתמים, עצרות, שורשים, וזיכרון.
פונקציות טריגונומטריות
sin(30°)=0.5, cos(60°)=0.5, tan(45°)=1. ערכים חשובים: sin(0)=0, sin(90)=1, cos(0)=1, cos(90)=0. קשר פיתגורס: sin²x + cos²x = 1 לכל x. tan(x) = sin(x)/cos(x). המחשבון עובד בדרגות.
לוגריתמים
log(x) = לוגריתם בבסיס 10. ln(x) = לוגריתם טבעי (בסיס e). log(100)=2, log(1000)=3, ln(e)=1. כלל שינוי בסיס: logₐ(x) = log(x)/log(a). שימוש: ריבית דריבית, מדידות רעידות אדמה (סולם ריכטר), דציבל.
טריגונומטריה — שימושים בפיזיקה ובהנדסה
הפונקציות הטריגונומטריות חיוניות בפיזיקה ובהנדסה: מישור נטוי: כוח מקביל למישור = F×sin(θ). כוח אנכי = F×cos(θ). לדוגמה: עגלה על מישור 30° עם כוח 100N: F_parallel = 100×sin(30°) = 50N. גלים: y = A×sin(2πft). תזוזה A=5 מ"מ, תדר f=440 Hz: y = 5×sin(2π×440×t) — תו לה. הנדסה חשמלית: מתח AC: V(t) = V_max×sin(2πft). בישראל: 230V, 50Hz. V_max = 230√2 ≈ 325V. קואורדינטות פולאריות: x = r×cos(θ), y = r×sin(θ). ניווט: כיוון 45° = צפון-מזרח = sin(45°)=cos(45°)=0.707. מרחק 10 ק"מ בכיוון 30° מצפון: צפון = 10×cos(30°)=8.66 ק"מ, מזרח = 10×sin(30°)=5 ק"מ.
אינטגרלים ונגזרות — הבסיס לחשבון אינפינטסימלי
חשבון אינפינטסימלי (Calculus) הוא ליבת המתמטיקה המתקדמת: נגזרות (Derivatives): d/dx (xⁿ) = nxⁿ⁻¹. d/dx (sin x) = cos x. d/dx (cos x) = -sin x. d/dx (eˣ) = eˣ. d/dx (ln x) = 1/x. כלל שרשרת: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x). דוגמה: d/dx [sin(x²)] = cos(x²) × 2x. אינטגרלים: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C. ∫sin x dx = -cos x + C. ∫eˣ dx = eˣ + C. ∫1/x dx = ln|x| + C. משמעות פיזיקלית: נגזרת מהירות = תאוצה. אינטגרל מהירות = מיקום. שימוש ישראלי: חישוב ריבית דריבית רציפה: A = Pe^(rt). חישוב שטח תחת עקומת ייצור.
קומבינטוריקה — הסתברות ובחירות
קומבינטוריקה חיונית להסתברות ולמדעי המחשב: עקרון הכפל: m דרכים לפעולה ראשונה ו-n לשנייה → m×n דרכים. קומבינציות (C(n,k)): מספר דרכים לבחור k מתוך n ללא סדר. C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 120. פרמוטציות (P(n,k)): עם סדר. P(n,k) = n!/(n-k)!. P(10,3) = 720. הסתברות בלוטו: בחירת 6 מתוך 37 = C(37,6) = 2,324,784. סיכוי לזכות: 1/2,324,784 = 0.000043%. הסתברות כרטיס פוקר: 5 קלפים מ-52 = C(52,5) = 2,598,960. Royal Flush: 4/2,598,960 = 0.00015%. בינום ניוטון: (a+b)ⁿ = Σ C(n,k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ. הרחבת (1+x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³.
מספרים מרוכבים — מגרש המשחקים של ההנדסה
מספרים מרוכבים (Complex Numbers) חיוניים להנדסה ולפיזיקה קוואנטית: צורה אלגברית: z = a + bi. a = חלק ממשי, b = חלק מדומה. i² = -1. פעולות: (2+3i) + (1+i) = 3+4i. (2+3i) × (1+i) = 2+2i+3i+3i² = 2+5i-3 = -1+5i. מודול: |z| = √(a² + b²) = √(4+9) = √13. ציור: מישור גאוס. ציר X = ממשי, ציר Y = מדומה. צורה טריגונומטרית: z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ). נוסחת אויילר (המשוואה היפה ביותר): e^(iπ) + 1 = 0. כוללת e, π, i, 1, 0 — חמשת הקבועים החשובים ביותר. שימוש הנדסי: עכבה חשמלית Z = R + jX. עיבוד אות (DSP): פורייה. קוואנטים: ψ = |0⟩ + i|1⟩.
נוסחאות שימושיות בפיזיקה לתיכון ולבגרות
נוסחאות פיזיקה הנדרשות בבגרות בישראל: תנועה: v = v₀ + at. x = x₀ + v₀t + ½at². v² = v₀² + 2ax. כוח: F = ma. חוק הכבידה: F = Gm₁m₂/r². E = mc² (איינשטיין). אנרגיה: Ek = ½mv². Ep = mgh. P = mgh/t (עוצמה). גלים: v = fλ. E = hf (פוטון). טמפרטורה: pV = nRT (גז אידיאלי). Q = mcΔT (קלוריה). חשמל: V = IR (אוהם). P = VI = I²R = V²/R. E = Pt. קבלים: C = Q/V. Ec = ½CV². סולנואיד: B = μ₀nI. מגנטיות: F = qvB × sin θ. אופטיקה: 1/f = 1/v + 1/u. n = c/v. Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂.
היסטוריה של המתמטיקה המדעית — מי המציא מה
המתמטיקה שבמחשבון המדעי פותחה על ידי גאונות לאורך מאות שנים: ניוטון ולייבניץ (המאה ה-17): אבות החשבון האינפינטסימלי (בנפרד). ויכוח עצום מי הגה ראשון. אויילר (1707–1783): פיתח את נוסחת e^(iπ)+1=0. הגדיר π ו-e. 'המתמטיקאי היצרני ביותר בהיסטוריה'. גאוס (1777–1855): תרם לתיאוריית מספרים, גיאומטריה, אסטטיקה. ריף ריפק נוסחאות לסיכום סדרות בגיל 8. ריימן (1826–1866): השערת ריימן — בעיה פתוחה השווה מיליון דולר. צ'ורין (מאה ה-19): מספרים מרוכבים. ישראל: Branko Grünbaum — גיאומטריה קומבינטורית. חיים שפירא — תיאוריית קבוצות. המחשבון המדעי מכיל בתוכו 300+ שנות עבודה מתמטית.
שאלות נפוצות
מה sin²θ + cos²θ?
sin²θ + cos²θ = 1 תמיד (זהות פיתגורס). גרסאות: 1 + tan²θ = sec²θ. 1 + cot²θ = csc²θ. שימוש: פישוט ביטויים טריגונומטריים, הוכחות גאומטריות, פיזיקה (גלים).
כיצד לחשב 2^10?
2^10 = 1,024. כלל עוצמות: 2^10 = 2^5 × 2^5 = 32 × 32 = 1,024. עוצמות 2 נפוצות: 2^8=256, 2^10=1024, 2^16=65536, 2^20=1,048,576 (מגה), 2^30≈מיליארד (גיגה).
מה ln(e)?
ln(e) = 1 כי e¹ = e. ln הוא לוגריתם בבסיס e≈2.71828. ln(1)=0, ln(e)=1, ln(e²)=2. ln(x) = log(x) / log(e) = log(x) / 0.4343 = 2.303 × log(x).
מה sin(45°)?
sin(45°) = √2/2 ≈ 0.7071. ערכים מרכזיים: sin(0°)=0, sin(30°)=0.5, sin(45°)≈0.707, sin(60°)≈0.866, sin(90°)=1.
כיצד לחשב tan(30°)?
tan(30°) = sin(30°)/cos(30°) = 0.5 / (√3/2) = 1/√3 ≈ 0.5774. ערכי tan: tan(0°)=0, tan(30°)≈0.577, tan(45°)=1, tan(60°)=√3≈1.732, tan(90°) = אינסוף (לא מוגדר).
מה log(1000)?
log(1000) = log(10³) = 3. לוגריתם בבסיס 10 = המספר שצריך להעלות את 10 לחזקתו. log(1)=0, log(10)=1, log(100)=2, log(1000)=3, log(10000)=4.
מה ההבדל בין log ל-ln?
log = לוגריתם בבסיס 10 (לוגריתם עשרוני). ln = לוגריתם טבעי בבסיס e≈2.71828. קשר: ln(x) = 2.302585 × log(x). שימושי: log לדציבל/pH, ln לריבית דריבית/קריסה טבעית.
כיצד לחשב C(n,k) — קומבינציות?
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!). לדוגמה: C(5,2) = 5!/(2!×3!) = 120/(2×6) = 10. מספר דרכים לבחור 2 פריטים מתוך 5. לחישוב: השתמשו בכפתורות n! במחשבון המדעי.
מה 5! (עצרת 5)?
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. עצרות שימושיות: 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=5040, 10!=3,628,800.
מה המספר e?
e = 2.718281828... — בסיס הלוגריתם הטבעי. מוגדר: e = lim(1 + 1/n)^n כש-n→∞. נגזרת eˣ היא eˣ עצמה. מופיע בריבית דריבית רציפה, מכניקה קוואנטית, וסטטיסטיקה.
מה arcsin / arccos / arctan?
פונקציות הפוכות לטריגונומטריה. arcsin(0.5) = 30° כי sin(30°) = 0.5. arctan(1) = 45° כי tan(45°) = 1. טווחים: arcsin: [-90°,+90°], arccos: [0°,180°], arctan: [-90°,+90°].
כיצד לחשב ריבית דריבית במחשבון מדעי?
A = P × (1 + r)^n. לדוגמה: P=10,000 ₪, r=5%=0.05, n=10 שנים. חישוב: 10000 × 1.05 x^10 = 16,288.94 ₪. לריבית רציפה: A = P × e^(r×n).
מה π (פי)?
π = 3.14159265358979... — יחס היקף עיגול לקוטרו. אי-רציונלי ואף טרנסצנדנטי (לא שורש של פולינום). שימושים: שטח עיגול (πr²), היקף (2πr), גל סינוס (sin(2πt)), הסתברות (אינטגרל גאוסי).